Gödel 1906'da Avusturya-Macaristan İmparatorluğunda doğdu. Yaşamı boyunca dini cemaatlerle işi olmamıştır, buna rağmen kendisini teist olarak görür. Kendi tabiriyle; Spinozayı değil, Leibnizi izler. 1924'de fizik okumaya Viyana Üniversitesine gider. Fakat matematik ve felsefeye merak salar. Hilbert'in derslerine girer ve “matematiğin eksiksizliği üzerine” konuşmalarını dinler. Daha sonra doktora teziyle “eksiksizlik teoremi üzerine” katkıda bulunarak 1930'da Viyana matematik doktorasını alır. Bir sene sonra ise, beklenmedik bir şekilde “eksiklik kuramı”nı yayınlar ve asıl ününe bu makalesiyle kavuşur. 1940 Nazi Almanyasından kurtulmak için eşiyle birlikte Amerika'ya taşınır. Hayatu boyunca sağlık sorunlarıyla boğuşur. 1940'larda ameliyat olması gerekirken, o bunu sürekli geçiştirir. Sonunda kan nakliyle hayati tehlikeyi atlatır. Hayatının son yıllarında Gödel'in eşi rahatsızlanarak, bakımevine yatırılır. Bunun sonucunda Gödel depresyona girer. Zehirleneceği paranoyasıyla hiçbir şey yememeye başlar. Daha sonra 14 Ocak 1978 tarihinde evinde 29 kilo cenin pozisyonunda ölü bulunur. Gödel’ın hayatı için sıklıkla şu söylenir; “dünya’nın en büyük mantıkçısı, en mantıksız şekilde yaşadı ve öldü.”
Gödel, matematikçi olduğu kadar, bir fizikçi ve filozoftur. Onun fizikçi yanı; “fiziki nesneler her ne kadar gerçekse, matematiksel nesnelerin de bir o kadar gerçek olduğu” fikrine dayanır. Filozof yanı ise; onu asıl ününe kavuşturacak olan “ekisklik kuramı”ndan hareketle, “mutlak olana güven” ya da “kanıtlanamazlığın kanıtlanması” çalışmaları olacaktır. Bunun yanında seçim aksiyomu ve süreklilik hipotezi üzerine de çalışmalar yapar. Einstein fiziğine ve zamanda yolculuk fikrine ilgi duyar. 1944'de “Russell'in Matematiksel Mantığı” adlı makalesiyle, matematik ile felsefe arasında bir bağ kurmaya çalışır. Kant ve Leibniz'den etkilenen Gödel, 1959'da Husserl felsefesine yoğunlaşmaya başlar. Bir yanı Platoncu olan Gödel'in, Diğer yanı Husserlcidir.
Eksiklik Kuramı
Matematik için çalkantılı olan XIX. ve XX. yüzyılda ortaya çıkan problemler ve paradokslar matematiği bir bilinmezliğe sürüklemeye başlamıştır. Bunun sonucunda Hilbert gibi dönemin büyük matematikçileri, bu sorunlarla karşı karşıya kalmanın getirdiği krizin tahammül edilemez olduğunu düşünüyordu. Hilbert bununla ilgili şunları söyler;
Bir düşünün; herkesin öğrendiği, öğrettiği, gerçekliğin ve kesinliğin mükemmel örneği olan matematiğin kullandığı tanımlar ve tümdengelim yöntemleri saçmalıklara yol açıyor. Eğer matematiksel düşünce kusurlu ise biz kesinliği ve gerçekliği nerede bulacağız?
Bunun sonucunda Hilbert, metamatematik alanını kurdu ve burada “matematiğin önermeleri sembollerin toplamı olarak, çıkarım yöntemleri de sembolleri maniple etmeye yarayan bir tür makeanik kurallar olarak” sunuldu. Gödel ise kendi eksiklik teoremlerini Hilbert'in metamatematik tekniklerini kullanarak elde ettiği sonucu, şu cümlelerle ifade etmiştir;
Öyle matematiksel problemler vardır ki Principia Mathematica'daki (Newton'un Doğa Felsefesi'nin Matematik İlkeleri kitabına atıf yapıyor.) mantıksal araçlarla çözülemezler. […] Bu gerçek şöyle de ifade edilebilir; Principia Mathematica üstyapı olarak eklenmiş olan Peano aksiyom sistemi, sözdizimsel olarak (syntactically) eksiktir.
Yani tutarlı bir aritmetik sistem içerisinde öyle bir önerme bulunur ki; ne bu önerme, ne de olumsuzu bu aritmetik sistemin içinde ispatlanabilir. Buradaki eksiklik daha çok “karar verilemezlik”tir. Dolayısıyla tutarlı bir sistemde karar verilemez önermelerin olması onu eksik kılar. Buradaki Gödelin felsefi düşündüğüne dair ilginç nokta, Hilbert'in doğruluk/gerçeklik kavramı yerine ispat'ı ele alması ve bunun bir “eksikliğe” işaret etmesidir. Yani tutarlı bir sistem içerisinde öyle doğru önermeler bulabiliriz ki, bunların bir ispatı yoktur. Bu felsefi sorun Gödel'in kafasını o kadar çok karıştırır ki; hayatı boyunca “matematiksel hakikat ile formel sistemlerdeki ispat” arasında bir gerilim içerisinde durarak bu soruna çözüm getirmeye çalışır. Buraya kadar ki sonuç, Gödel'in “birinci eksiklik kuramı”dır. Gödel elde ettiği “ikinci eksiklik teoremi”ne göre Principia Mathematica ve Peano aksiyom sistemiyle elde edilen bir sistemin tutarlılık ispatı, sistem içerisinde formel olarak verilemez. Buradaki formellikten kasıt ise, yine Hilbertçi tarzdadır.
İkinci teorem, aslında birinci teoremin bir kanıtının bir anlamda sonucudur. Şöyle ki; “karar verilemez aritmetiksel önermelerin olduğu eksik bir sistemde, sistemin tutarlılığına ilişkin bir önerme, bahsi geçen karar verilemez önermelerden biridir.” Yani eldeki sistemin tutarlılığına ilişkin ispat, -eğer varsa- o sistem içerisinde formelleştirilemez. (Gödel, iletişim yeteneğimize olağanüstü bir güvensizlik duyuyordu. Ona göre doğal dil bulanıktı ve genelde birbirimizi anlamıyorduk. Gödel matematiğin netliğini ve titizliğini kullanarak, kendi eksiklik teoremiyle felsefi bir şeyler söylemişti. Gödel, “nesnel bir ispat veya matematiksel ispat diye bir şey yoktur” türünden bir yargı ifade etmek istemiyordu. Fakat Gödel'in teoremi, kimi entelektüel çevreler tarafından söylemeye çalıştığı şeyin dışındaki bir takım şekillerde yorumlandı. Goldstein'ın -muhtemelen biraz postmodern, biraz da anakronik olarak- söylediği gibi; “böyle bir durumda Gödel, iletişime güvensizlik duymasın da ne yapsın?”)
Yorumlar
Yorum Gönder